Міністерство освіти і науки України
Національний університет „Львівська політехніка”
Кафедра електронних
обчислювальних машин
Звіт
про виконання лабораторної роботи № 4
з курсу „ Обробка сигналів ”
Тема:
Обчислення спектральних характеристик сигналу
Мета роботи: Дослідити дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) і алгоритм швидкого перетворення Фур'є (ШПФ) за основою два як засіб ефективного обчислення спектральних характеристик періодичних і неперіодичних сигналів, а також фільтрації і апроксимації сигналів.
Завдання
Варіант
Форма сигналу
Зауваження до завдання
9
A ,с - довільні додатні константи (обрано A=6; c=9).
Решта параметрів визначаються за співвідношеннями:
B = 0.5 * A; d = с / 2;
e = с / 4; f = с;
g = 2 * с; h = 4 * с.
Порядок виконання роботи
Теоретичні відомості
Прямим та оберненим дискретним перетворенням Фур'є (ДПФ) називають пару взаємно однозначних лінійних перетворень виду (1), (2)
(пряме) (1)
(обернене) (2)
де ,.
Пряме дискретне перетворення Фур'є (1) призначено для виконання Фур’є-аналізу, тобто визначає спектральні компоненти (складові) сигналу . Обернене перетворення Фур'є (2) забезпечує Фур’є-синтез сигналу за заданим набором спектральних компонент . У загальному випадку послідовності і - комплексні. Якщо ж - дійсна послідовність, то є комплексно спряженою: , , . Для дійсних сигналів спектральні компоненти з номерами відповідають від’ємним частотам і не мають фізичного змісту.
Швидким перетворенням Фур'є (ШПФ) називають групу алгоритмів, що суттєво зменшують обчислювальні затрати при обчисленні прямого чи оберненого перетворень у порівнянні з безпосереднім способом, що ґрунтується на формулах (1) чи (2). Серед відомих алгоритмів ШПФ найпростішу структуру має алгоритм Кулі-Тьюкі за основою два (ШПФ2). Його основна ідея полягає в рекурсивному (при ) зведенні -точкових () перетворень до двох -точкових. При часовому проріджені з цією метою застосовується формула розкладу (3)
(3)
де , , . Якщо обчислюється -точкове перетворення комплексної послідовності, то кількість операцій комплексного множення і додавання в алгоритмі ШПФ рівні:, . У порівнянні з безпосереднім способом обчислення перетворень (1) чи (2), який потребує комплексних множень і комплексних додавань, обчислювальні затрати суттєво скорочуються - приблизно в раз (наприклад, при - в сотні раз).
Крім ноpмуючого постійного множника , в оберненому ДПФ маємо комплексно-спряжені повертаючі множники. Для уникнення розробки алгоритму швидкого оберненого ДПФ використовуємо рівність = , що отримується з (2) в результаті операції комплексного спряження. Інакше кажучи, для обчислення оберненого ДПФ послідовності за допомогою алгоритму прямого ШПФ достатньо: знайти комплексно спряжену послідовність ; обчислити її пряме ДПФ - ; виконати операції комплексного спряження і множення на нормуючий множник отриманої послідовності: * .
Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Для неперіодичного сигналу спектральне представлення описується парою інтегральних перетворень
, (пряме), (4)
, (обернене).(5)
При цьому має місце рівність Парсеваля (6),
. (6)
Нехай для і і одночасно для . Покладемо , , . Тоді для наближеного обчислення у виразі (4), використовуючи формулу чисельного інтегрування прямокутників, отримуємо вираз (7)
, . (7)
Таким чином, для обчислення спектру неперіодичного сигналу (з кроком у смузі () ) можна скористатися формулою ДПФ і, як наслідок, алгоритмами ШПФ. Для підвищення роздільної здатності (зменшення в раз) потрібно фактично чи формально (для фінітних сигналів, що рівні нулю при ) збільшити (в раз), доповнивши послідовність нульовими відліками: при і при . Для розширення смуги аналізу в раз зменшуємо (збільшуємо в раз ).
Спектральний аналіз періодичних сигналів. Нехай - періодичний сигнал з періодом , тобто для довільних і , має місц...
